ثابت أويلر الغريب يتكرر في الطبيعة حولنا

إِذا كان عليك اختيار الرقم الأكثر شهرةً في العالم فربما ستقول أنه الرقم ط (باي)، صحيح؟ لكن لماذا؟ فعلى الرغم من كونه ضرورياً في فهمنا للدوائر إلا أنه ليس رقماً يسهل العمل معه بشكلٍ خاصٍ، فمن المستحيل حرفياً معرفة قيمته الحقيقية، ويُمكننا الاستمرار في حساب كل رقم من باي إلى ما لا نهاية لعدم وجود نمطٍ واضحٍ لأرقامه. ولكن على الرغم من طبيعته غير العملية، اكتسب الرقم ط (باي) شهرته إثر ظهوره في كل مكان في الطبيعة والرياضيات، وحتى في الأماكن التي ليس لها ارتباطٌ واضحٌ بالدوائر، ولكن الرقم باي ليس الوحيد الذي يتمتع بتواجدٍ واسعٍ في كل مكان، فالرقم 0.577 يظهر في كل مكان أيضاً، ويُعرّف بأنه الفرق المحدود بين متواليتين رياضيتين كلاسيكيتين: اللوغاريتم الطبيعي والمتسلسلة التوافقية. ويُسمى بثابت أويلر أو ثابت أويلر ماسكيروني.

المتسلسلة التوافقية هي متسلسلةٌ مشهورةٌ جداً من الأرقام التي تحصل عليها إذا بدأت بجمع أرقامٍ مثل: 1 + 1/2 + 1/3 +1/4 وواصلت إلى ما لا نهاية، وستكون حينها أتقنت السلسلة التوافقية. بينما شرح اللوغاريتم الطبيعي أكثر تعقيداً بكثيرٍ، لكن بإيجاز يمكننا القول بأن الفرق بين قيمة اللوغاريتم الطبيعي والسلسلة التوافقية هو عددٌ محدودٌ يسمى ثابت أويلر (0.577)، ويُختصر إلى ثلاث خاناتٍ عشريةٍ (ويمكن أن تستمر الكسور العشرية مثل باي، أي إلى حوالي 100 مليار خانة).

ما يمكن أن يفسّره الرقم 0.577 هو شيءٌ محيّرٌ حقاً، فتخيّل أن لديك دائرةً يبلغ محيطها متراً واحداً وأنك وضعت نملةً في الأعلى، لتبدأ بالسير حول الدائرة بمعدلٍ ثابتٍ يبلغ 1 سم كل ثانية، ثم تخيّل أنك توسع محيط الدائرة بمقدار 1 متر كل ثانية بينما تسير النملة. أي أن النملة تتقدم 1 سم حول دائرتك مع كل ثانية، لكنك تضيف متراً إضافياً إلى طول الرحلة، ولهذا فإن من المستحيل أن تنهي النملة مسارها حول الدائرة، أليس كذلك؟

من المدهش أن هذا غير صحيح! حيث تستطيع النملة فعلاً أن تقطع كامل الطريق حول الدائرة عند التحرك بمعدلٍ ثابت بالرغم من أنك تستمر في الإضافة إليها، والسبب هو أن المسافة التي أمامها ليست الشيء الوحيد الذي يتزايد، فكذلك تفعل المسافة خلفها. وبطبيعة الحال، ستنطفئ الشمس بحلول الوقت الذي تقطع فيه النملة المسافة الكلية، فنحن نتحدث عن سلسلة من الأرقام التي تنمو ببطءٍ وتكاد تكون مبهمةً، وهذا مثيرٌ للاهتمام في حدّ ذاته، ولكن الأكثر غرابةً هو أن ثابت أويلر لا ينخرط فقط في تفسير هذا اللغز الذي يبدو متناقضاً، بل يظهر في جميع معضلات الفيزياء، بما فيها معادلات ميكانيكا الكم، وحتى في المعادلات المستخدمة للعثور على بوزون هيغز، وليس لدى أحدٍ أيّ فكرةٍ عن السبب. لكن دعنا نقول بأننا لم نفكر مطلقاً في الأرقام على أنها مخيفةٌ بشكل غير مريح بقدر ما نفعل الآن.